7. Основные понятия и определения статики. Момент силы. Пара сил.

Основные понятия и опреде­ления статики.

Момент силы. Пара сил.

 

  1. Основные понятия и определения статики. Аксиомы статики.
  2. Связи и их реакции.
  3. Момент силы относительно центра и оси.
  4. Пара сил. Векторный и алгебраический момент пары сил (Свойства пар сил на плоскости).
  5. Условия эквивалентности пар сил.
  6. Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях.
  7. Условия равновесия системы пар сил.

 

 1.     Основные понятия и определения статики.

 

Материальные объекты в статике:

материальная точка,

система материальных точек,

абсолютно твердое тело.

 

Системой материальных точек, или механической системой, называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения других точек этой системы.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого не изменяется.

 

Твердое тело может находиться в состоянии покоя или движения определенного характера. Каждое их этих состояний будем называть кинематическим состоянием тела.

 

 

 

 

 

 

 

 

Сила - мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия.

Сила  может быть приложена в точке, тогда эта сила – сосредоточенная.

Сила может действовать на все точки данного объема или поверхности тела, тогда эта сила – распределенная.

Система сил - совокупность сил, действующих на данное тело.

Равнодействующей называется сила, эквивалентная некоторой системе сил.

Уравновешивающей силой называется сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону.

Системой взаимно уравновешивающихся сил называется система сил, которая будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния.

 

 

         Внутренние силы – это силы, которые действуют между точками или телами данной системы.

         Внешние силы – это силы, которые действуют со стороны точек или тел, не входящих в данную систему.

         Задачи статики:

        -  преобразование систем сил, действующих на твердое тело в эквивалентные им системы;  

        - исследование условий равновесия тел под действием приложенных к ним сил.

1.                Аксиомы статики.

 

 

 

 

1. Аксиома инерции. Под действием взамно-уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

 

2. Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к твердому телу взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны и они направлены по одной прямой в противоположные стороны.

 

 

 

 

 

3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно-уравновешивающихся сил.

Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменным ее модуль и направление.

Сила - скользящий вектор.

 

 

 

 

4. Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая  двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

 

 

  

 

5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

 2.   Связи и их реакции

Твердое тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении.

Тело, ограничивающее свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

Твердое тело, свобода движения которого ограничено связями, называется несвободным.

Все силы, действующие на несвободное твердое тело, можно разделить на:

  • задаваемые (активные)
  • реакции связей

Задаваемая сила  выражает действие на данное тело других тел, способных вызвать изменение его кинематического состояния.

 

Реакция связи – это сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям.

 

Принцип освобождаемости твердых тел от связей - несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил, действуют реакции связей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как определить направление реакции?

         Если существует два взаимно перпендикулярных направления на плоскости, в одном из которых связь препятствует перемещению тела, а в другом нет, то направление ее реакции противоположно первому направлению.

В общем случае направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

 

 

 

 

 

 

 

Неподвижный шарнир

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подвижный

шарнир

 

 

 

 

 

 

  3. Момент силы  относительно центра

Моментом силы F относительно некоторого неподвижного  центра О называется вектор, расположенный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор силы и центр О, направленный в ту сторону, чтобы смотря с его конца можно было видеть поворот силы F относительно центра О против часовой стрелки.

Свойства момента силы относительно центра:

 

 

1)   Модуль момента силы относительно центра может быть выражен удвоенной площадью треугольника ОАВ

      (1.1)

 

2)   Момент силы относительно центра равен нулю в том случае, если линия действия силы проходит через эту точку, то есть h = 0.

 

 

 

 

3)   Если из точки О в точку приложения силы А провести радиус вектор , то вектор момента силы можно выразить векторным произведением

 

            (1.2)

 

 

 

4)   При переносе силы по линии ее действия вектор ее момента относительно данной точки не изменяется.

 

 

 

 

 

5)   Если через центр О провести оси координат   Охуz   то   выражение

(4.2) позволяет вычислить момент МО аналитически относительно координатных осей.

 

 

 

          (1.3)

 

 

 Если к твердому телу приложено несколько сил, лежащих в одной плоскости, можно вычислить алгебраическую сумму моментов этих сил относительно любой точки этой плоскости

 

            Момент МО, равный алгебраической сумме моментов данной системы относительно какой-либо точки в той же плоскости, называют главным моментом системы сил относительно этой точки.

 

3. Момент силы относительно оси

 

Чтобы определить момент силы относительно оси необходимо:

1)     провести плоскость, перпендикулярную к оси Z;

2)     определить точку О  пересечения оси с плоскостью;

3)     спроецировать ортогонально силу F на эту плоскость;

4)     найти момент проекции силы F относительно точки О пересечения оси с плоскостью.

                                                  (1.4)

 

Правило знаков:

 

Момент силы относительно оси считается положительным, если,  смотря навстречу оси Z, можно видеть проекцию , стремящейся вращать плоскость I вокруг оси Z в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

 

 

 

Свойства момента силы

относительно оси

1) Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложенным  по оси Z  от точки О в положительном направлении, если > 0 и в отрицательном направлении, если < 0. 

2) Значение момента силы относительно оси может быть выражено удвоенной площадью Δ

      (1.5)

 

3) Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

  • если F1 = 0, то есть линия действия силы параллельна оси;
  • eсли h1 = 0, то есть линия действия силы пересекают ось.

 

 

4. Пара сил. Векторный и алгебраический момент пары сил

 

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил  и , называется парой сил.

Плоскость, в которой находятся линии действия сил  и , называется плоскостью действия пары сил.

Кратчайшее расстояние hмежду линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил.

Момент пары сил определяется произведением модуля одной из сил пары на плечо.

 

                              (1.6)

 

 

 

 

 

Правило знаков

 

Вектор момента М пары  и  направляют перпендикулярно к плоскости действия пары сил в такую сторону, что бы смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки.

  1. 4.     Свойства пар сил на плоскости

 

Свойство 1. Вектор-момент M  пары  по модулю и направлению равен векторному произведению радиуса вектора АВ на ту из сил этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор АВ, то есть 

                                         (1.7)

 

 

 

 

 

 

 

Если пары сил лежат в одной плоскости

 

 

 

Свойство 2. Главный момент сил, составляющих пару относительно произвольной точки на плоскости действия пары, не зависит от положения этой точки и равняется моменту этой пары сил.

 

 

 

 

 

5.     Условия эквивалентности пар сил

 

Теорема об условии эквивалентности пар сил,

лежащих в одной плоскости.

 

Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты равны численно и одинаковы по знаку.

 

 

 

 

 

 

 следовательно, их можно исключить из этой системы сил. Тогда получим пару  с плечом

NK=CD=h2, эквивалентную паре  с плечом

KZ = h1 = AB.

Из подобия треугольников

 

 

 

 

Сравнивая (*) и (**) получим, что  пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело можно переносить в любое место плоскости ее действия, поворачивать ее плечо на любой угол, а также изменять это плечо и модули сил, не изменяя величины ее момента и направления вращения.

 

Следовательно, основной характеристикой пары является ее момент.

 

Теорема об условии эквивалентности пар сил в пространстве

Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

 

 

 

 

Имеем :                   

 

 

 

 

 

Из рассмотренных теорем следует:

  • не изменяя действия пары сил на твердое  тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия, а так же изменять ее силы и плечо, сохраняя неизменным модуль и направление ее момента.
  • вектор момента пары сил определяет все три ее элемента: положение плоскости действия пары, направление вращения и численное значение момента.

Таким образом, вектор момента пары сил можно переносить в любую точку пространства, то есть

момент пары сил является свободным вектором

 6.    Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях

 

Теорема о сложении пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях

 

Система пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях эквивалентна одной паре с вектором-моментом, равным геометрической сумме векторов –моментов слагаемых пар.

 

 

 

 

 

 

то есть вектор-момент  равнодействующей пары по модулю и направлению изображается диагональю параллелограмма, построенного из векторов-моментов слагаемых пар.

 

 

 

Если на тело действует nпар, лежащих в разных плоскостях, то складывая эти пары в последовательном порядке и применяя каждый раз теорему о сложении двух пар сил, установим, что эта система пар заменится одной равнодействующей парой с вектором-моментом

 

                           (1.8)

 

 

 

 

 

 

 

7.     Условия равновесия системы пар сил

 

    - векторная форма                        (1.9)                                     

 

     - в проекциях на оси координат  (1.10)