7. Основные понятия и определения статики. Момент силы. Пара сил.
Основные понятия и определения статики.
Момент силы. Пара сил.
- Основные понятия и определения статики. Аксиомы статики.
- Связи и их реакции.
- Момент силы относительно центра и оси.
- Пара сил. Векторный и алгебраический момент пары сил (Свойства пар сил на плоскости).
- Условия эквивалентности пар сил.
- Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях.
- Условия равновесия системы пар сил.
1. Основные понятия и определения статики.
Материальные объекты в статике:
материальная точка,
система материальных точек,
абсолютно твердое тело.
Системой материальных точек, или механической системой, называется такая совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависит от положения и движения других точек этой системы.
Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого не изменяется.
Твердое тело может находиться в состоянии покоя или движения определенного характера. Каждое их этих состояний будем называть кинематическим состоянием тела.
|
Сила - мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила может быть приложена в точке, тогда эта сила – сосредоточенная. Сила может действовать на все точки данного объема или поверхности тела, тогда эта сила – распределенная. |
Система сил - совокупность сил, действующих на данное тело. |
|
Равнодействующей называется сила, эквивалентная некоторой системе сил. |
|
Уравновешивающей силой называется сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону. |
|
Системой взаимно уравновешивающихся сил называется система сил, которая будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния.
|
Внутренние силы – это силы, которые действуют между точками или телами данной системы.
Внешние силы – это силы, которые действуют со стороны точек или тел, не входящих в данную систему.
Задачи статики:
- преобразование систем сил, действующих на твердое тело в эквивалентные им системы;
- исследование условий равновесия тел под действием приложенных к ним сил.
1. Аксиомы статики.
|
1. Аксиома инерции. Под действием взамно-уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.
2. Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к твердому телу взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны и они направлены по одной прямой в противоположные стороны.
|
|
3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно-уравновешивающихся сил. Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменным ее модуль и направление. Сила - скользящий вектор.
|
|
|
4. Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.
|
5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
2. Связи и их реакции
Твердое тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении.
Тело, ограничивающее свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.
Твердое тело, свобода движения которого ограничено связями, называется несвободным.
Все силы, действующие на несвободное твердое тело, можно разделить на:
- задаваемые (активные)
- реакции связей
Задаваемая сила выражает действие на данное тело других тел, способных вызвать изменение его кинематического состояния.
Реакция связи – это сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям.
Принцип освобождаемости твердых тел от связей - несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил, действуют реакции связей.
|
|
|
Как определить направление реакции?
Если существует два взаимно перпендикулярных направления на плоскости, в одном из которых связь препятствует перемещению тела, а в другом нет, то направление ее реакции противоположно первому направлению.
В общем случае направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
|
Неподвижный шарнир
Подвижный шарнир
|
|
3. Момент силы относительно центра
Моментом силы F относительно некоторого неподвижного центра О называется вектор, расположенный перпендикулярно к плоскости, проходящей через вектор силы и центр О, направленный в ту сторону, чтобы смотря с его конца можно было видеть поворот силы F относительно центра О против часовой стрелки.
Свойства момента силы относительно центра:
|
1) Модуль момента силы относительно центра может быть выражен удвоенной площадью треугольника ОАВ (1.1)
2) Момент силы относительно центра равен нулю в том случае, если линия действия силы проходит через эту точку, то есть h = 0.
|
|
3) Если из точки О в точку приложения силы А провести радиус вектор , то вектор момента силы можно выразить векторным произведением
(1.2) |
|
4) При переносе силы по линии ее действия вектор ее момента относительно данной точки не изменяется.
|
|
5) Если через центр О провести оси координат Охуz то выражение (4.2) позволяет вычислить момент МО аналитически относительно координатных осей.
(1.3)
|
Если к твердому телу приложено несколько сил, лежащих в одной плоскости, можно вычислить алгебраическую сумму моментов этих сил относительно любой точки этой плоскости
Момент МО, равный алгебраической сумме моментов данной системы относительно какой-либо точки в той же плоскости, называют главным моментом системы сил относительно этой точки.
3. Момент силы относительно оси
Чтобы определить момент силы относительно оси необходимо:
1) провести плоскость, перпендикулярную к оси Z;
2) определить точку О пересечения оси с плоскостью;
3) спроецировать ортогонально силу F на эту плоскость;
4) найти момент проекции силы F относительно точки О пересечения оси с плоскостью.
(1.4)
Правило знаков:
Момент силы относительно оси считается положительным, если, смотря навстречу оси Z, можно видеть проекцию , стремящейся вращать плоскость I вокруг оси Z в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.
|
Свойства момента силы относительно оси 1) Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложенным по оси Z от точки О в положительном направлении, если > 0 и в отрицательном направлении, если < 0. 2) Значение момента силы относительно оси может быть выражено удвоенной площадью Δ (1.5)
3) Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:
|
4. Пара сил. Векторный и алгебраический момент пары сил
Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил и , называется парой сил.
Плоскость, в которой находятся линии действия сил и , называется плоскостью действия пары сил.
Кратчайшее расстояние hмежду линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил.
Момент пары сил определяется произведением модуля одной из сил пары на плечо.
(1.6)
|
Правило знаков
Вектор момента М пары и направляют перпендикулярно к плоскости действия пары сил в такую сторону, что бы смотря навстречу этому вектору, видеть пару сил стремящейся вращать плоскость ее действия в сторону, обратную вращению часовой стрелки.
- 4. Свойства пар сил на плоскости
Свойство 1. Вектор-момент M пары по модулю и направлению равен векторному произведению радиуса вектора АВ на ту из сил этой пары, к началу которой направлен радиус-вектор АВ, то есть
(1.7)
|
Если пары сил лежат в одной плоскости
|
Свойство 2. Главный момент сил, составляющих пару относительно произвольной точки на плоскости действия пары, не зависит от положения этой точки и равняется моменту этой пары сил.
|
5. Условия эквивалентности пар сил
Теорема об условии эквивалентности пар сил,
лежащих в одной плоскости.
Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты равны численно и одинаковы по знаку.
|
следовательно, их можно исключить из этой системы сил. Тогда получим пару с плечом NK=CD=h2, эквивалентную паре с плечом KZ = h1 = AB. Из подобия треугольников
|
Сравнивая (*) и (**) получим, что пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело можно переносить в любое место плоскости ее действия, поворачивать ее плечо на любой угол, а также изменять это плечо и модули сил, не изменяя величины ее момента и направления вращения.
Следовательно, основной характеристикой пары является ее момент.
Теорема об условии эквивалентности пар сил в пространстве
Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.
|
Имеем :
|
|
Из рассмотренных теорем следует:
- не изменяя действия пары сил на твердое тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия, а так же изменять ее силы и плечо, сохраняя неизменным модуль и направление ее момента.
- вектор момента пары сил определяет все три ее элемента: положение плоскости действия пары, направление вращения и численное значение момента.
Таким образом, вектор момента пары сил можно переносить в любую точку пространства, то есть
момент пары сил является свободным вектором
6. Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях
Теорема о сложении пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях
Система пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях эквивалентна одной паре с вектором-моментом, равным геометрической сумме векторов –моментов слагаемых пар.
|
то есть вектор-момент равнодействующей пары по модулю и направлению изображается диагональю параллелограмма, построенного из векторов-моментов слагаемых пар.
Если на тело действует nпар, лежащих в разных плоскостях, то складывая эти пары в последовательном порядке и применяя каждый раз теорему о сложении двух пар сил, установим, что эта система пар заменится одной равнодействующей парой с вектором-моментом
(1.8)
|
|
7. Условия равновесия системы пар сил
- векторная форма (1.9)
- в проекциях на оси координат (1.10)