4. Плоскопараллельное движение твердого тела.
Плоскопараллельное движение твердого тела.
- Уравнения плоскопараллельного движения.
- Разложение плоского движения на поступательное и вращательное.
- Определение траекторий и скоростей точек тела.
- План скоростей.
1. Уравнения плоскопараллельного движения
Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемешаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П.
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Oxy, параллельной плоскости П. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ/, перпендикулярны к сечению (S), то есть к плоскости П движутся тождественно и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости Oxy.
|
|
Уравнения (4.1) определяют закон происходящего движения и называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
2. Разложение плоскопараллельного движения на поступательное
вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса
Покажем, что плоское движение слагается из поступательного и вращательного. Для этого рассмотрим два последовательных положения I и II, которые занимает сечение Sдвижущегося тела в моменты времени t1 и t2= t1 + Δt. Легко видеть, что сечение S, а с ним и все тело можно привести из положения I в положение II следующим образом: переместим сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А, двигаясь вдоль своей траектории, пришел в положение А2. При этом отрезок A1B1займет положение , а затем повернем сечение вокруг полюса А2 на угол Δφ1.
|
Следовательно, плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же как полюс А и из вращательного движения вокруг этого полюса.
При этом следует отметить, что вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А. Однако для краткости мы будем в дальнейшем называть это движение просто вращением вокруг полюса А.
Поступательная часть плоскопараллельного движения описывается, очевидно, первыми двумя из уравнений (2. 1), а вращение вокруг полюса А - третьим из уравнений (2. 1).
Основные кинематические характеристики плоского движения
В качестве полюса можно выбирать любую точку тела
Вывод: вращательная составляющая плоского движения от выбора полюса не зависит, следовательно, угловая скорость ω и угловое ускорение eявляются общими для всех полюсов и называются угловой скоростью и угловым ускорением плоской фигуры
Векторы и направлены по оси, проходящей через полюс и перпендикулярной плоскости фигуры
Трехмерное изображение
![]() |
![]() |
Вид «сверху»
|
|
![]() |
![]() |
3. Определение скоростей точек тела
Теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.
При доказательстве будем исходить из того, что плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью vА и из вращательного движения вокруг этого полюса. Чтобы разделить эти два вида движения, введем две системы отсчета: Oxy – неподвижную, и Ox1y1 – движущуюся поступательно вместе с полюсом А. Относительно подвижной системы отсчета движение точки М будет «вращательным вокруг полюса А».
Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращательном движении вместе с телом вокруг этого полюса.
Геометрическая интерпретация теоремы
Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.
![]() |
Этот результат позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.
|
Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части пропорциональные
расстояниям между соответствующими точками отрезка
![]() |
![]() |
4. План скоростей
Планом скоростей называется диаграмма, на которой из произвольно выбранного полюса откладываются скорости точек, а вращательные скорости звеньев из плюса не выходят и располагаются перпендикулярно звеньям.
Построение плана скоростей базируется на соотношениях (3.6)
Откуда следует, что отрезки, соединяющие концы векторов скоростей на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки плана, и по модулю пропорциональны этим отрезкам, а их отношение равно угловой скорости плоской фигуры.
(3. 6')
Пример
Схема механизма
|
План скоростей
|